Integral

İNTEGRAL
Türevi belli olan bir fonksiyonu bulmak için yaptığımız işleme integral alma veya ilkel fonksiyonu denir.

BELİRSİZ İNTEGRAL
TANIM: f :[a, b] R, F : [a, b] R tanımlı ve türevlenebilir iki fonksiyon olsun.
Her x Є (a, b) için, F’(x) = f(x) ise F(x) fonksiyonuna f(x) fonksiyonunun ilkeli veya belirsiz integrali denir. Bunu, C Є R olmak üzere,

F’(x) = f(x) ſ f(x) dx = F(x)+C

Biçiminde gösterilir. ſ f(x) dx ifadesini, “integral f(x) dx” diye okuruz.

Kısaca, ſ f(x) dx demek, türevi f(x) olan F(x) fonksiyonunu bulmak demektir.
ſ f(x) dx = F(x)+C ifadesindeki;

- f(x) fonksiyonuna integrand,
- F(x) fonksiyonunun bulunması işlemine integrasyon işlemi,
- C reel sayısına da integrasyon sabiti denir. Bir fonksiyonda, sabit terimin türevi sıfır olduğundan, integral alınırken bu sabit terimi bilemeyiz.
- ſ f(x) dx ifadesindeki dx ise, integrasyonyn değişkeninin x olduğunu belirtir.

TEOREM: Bir fonksiyonun diferansiyelinin integrali, bu fonksiyona sabit eklenerek bulunur.

ſ d( f(x) ) = f(x)+C dir.

TEOREM: Bir fonksiyonun bir sabitle çarpımının integrali, o fonksiyonun integralinin sabitle çarpımına eşittir.
Yani, integral içindeki sabit çarpan, integral dışına alınabilir.

Her a Є R için, ſ a . f(x) dx = a . ſ f(x) dx dir.

TEOREM: İki fonksiyonun veya farkının integrali, bu fonksiyonların integrallerinin toplamına veya farkına eşittir.

ſ[f(x) + g(x)] dx = ſ f(x) dx + ſ g(x) dx ,
ſ[f(x) - g(x)] dx = ſ f(x) dx - ſg(x) dx tir.

TEMEL İNTEGRAL ALMA FORMÜLLERİ

1) ſ a dx = ax + C , (a Є R )
2) ſ xⁿ dx = (xⁿ ¹/n+1) + C , (n = -1)
3) ſ ( 1/x) dx = ln |x| +C
4) ſ eª da = eª + C
5) ſ eª da = (eª / ln e) + C , (a Є R’ –{1})
6) ſ sinx dx = -cosx + C
7) ſ cosx dx = -sinx + C
8) ſ (1 / cos²x) dx = ſ(1+tan²x) dx =ſsec²x dx = tanx + C
9) ſ (1 / sin²x) dx = ſ (1+cot²x) dx = ſcosec²x dx = -cotx + C
10) ſ (1 / 1 - x² ) dx = arc sinx + C = -arc cosx + C
11) ſ( 1 / 1+x² ) dx = arc tanx + C = -arc cotx + C

Yukarıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösterebilmek için, sağ taraftaki fonksiyonların türevlerini alarak, integrali alınan fonksiyonu elde ederiz.

İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ
İntegrali alınacak fonksiyonun, hangi fonksiyonun türevi olduğunu görmek, her zaman pek mümkün olmaz. Bunun için, bazı integral alma yöntemleri oluşturulmuştur.

1. DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİ
f, g, fog ve g’ fonksiyonları, bir [a, b] aralığında sürekli fonksiyonlar olsun

ſ f(g(x)).g’(x) dx

biçimindeki integralleri hesaplamak için, u = g(x) dönüşümü yapılır ve her iki tarafın diferansiyeli alınırsa, du = g’(x) dx elde edilir. Bu durumda integral,

ſf(g)).g’(x) = ſ f(u) du

biçimine dönüşür. ſ f(u) du ifadesinin, u değişkenine göre integrali alındıktan sonra, u yerine g(x) yazılarak, sonuç x değişkenine göre bulunmuş olur.

* ſ [f(x)]ⁿ . f’8x) dx ifadesinde olduğu gibi, kuvveti alınan fonksiyonun türevini aldığımızda, yanındaki çarpanı elde edebiliyorsak, bu ifadenin integralini kısaca;

ſ[f(x)]ⁿ . f’(x) dx = {[f(x)]ⁿ´¹ / n+1} + C (n = -1)
biçiminde alabiliriz.

LOGARİTMİK VE ÜSTEL İNTEGRAL ALMA KURALLARI:

1. ſ {f´(x) / f (x) = ln |f (x)| + C
2. ſ eª . f´(x) dx = eª + C ( a = f(x))
3. ſ eª . f´(x) dx = {eª / ln e} + C (a = f(x))

Bu eşitliklerin, sağ tarafındaki ifadelerin türevlari alındığında, integrali alınacak ifade elde edilir.

BAZI TRİGONOMETRİK İFADELERİN İNTEGRALLERİ

1. ſ sin(f(x)) . f´(x) dx = -cos f(x) + C
2. ſ cos (f(x)) . f’(x) dx = sin f(x) + C
3. ſ{f’(x) / cos²f(x)} dx = tan f(x) + C
4. ſ{f’(x) / sin²f(x)} dx = -cot f(x) + C
5. ſsin(ax + b) dx = (-1 / a) cos(ax + b) + C (a = 0)
6. ſcos(ax + b) dx = (1 / a) sin(ax + b) + C (a = 0)
7. ſ{dx / cos²(ax + b) dx = (1 / a) tan (ax + b) + C (a = 0)